Formulario integrali impropri

CONVERGENZA DI INTEGRALI IMPROPRI

\(f(x)\ge 0\,\,\,\,\forall x\in E\)  (dove \(E\) è l’intervallo di integrazione)

DEFINIZIONE DI CONVERGENZA IN SENSO IMPROPRIO

  1. Sia \(I=(a,b]\) un intervallo tale che la funzione \(\left( x \right)\) risulta continua sull’intervallo e sia tale che \(\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty \) , la funzione è integrabile in senso improprio se \(\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\) esiste ed è finito.
  2. Sia \(I\) non limitato superiormente o inferiormente, ad esempio \(I=[a,+\infty )\) , e sia \(f\left( x \right)\) una funzione continua su tale intervallo, allora si dice integrabile in senso improprio se \(\underset{b\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\) esiste ed è finito.

CONDIZIONE NECESSARIA ALLA CONVERGENZA     

Un integrale del tipo \(\int\limits_{a}^{+\infty }{f(x)dx}\) può convergere soltanto se \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\)

CRITERIO DEL CONFRONTO

 Se \(0\le f(x)\le g(x)\,\,\,\forall x\in E\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\) \(\left\{ \begin{align}& se\,\,\int\limits_{E}{f(x)dx}=+\infty \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\int\limits_{E}{g(x)dx=+\infty } \\& se\,\,\int\limits_{E}{g(x)dx}<\infty \,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\int\limits_{E}{f(x)dx}<\infty  \\\end{align} \right.\)

CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO

 Se \(\underset{x\to \alpha }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=l\,\,\,\in \mathbb{R}\cup \left\{ \infty  \right\}\,\,\,\) allora si può dire che:

se \(l\ne 0\) e \(l\ne \infty \)  \(\Rightarrow \) \(f(x)\) e \(g(x)\) hanno lo stesso comportamento dal punto di vista della convergenza

se \(l= 0\)  \(\Rightarrow \) se\(\,\,\int\limits_{E}{g(x)dx}<\infty \,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\int\limits_{E}{f(x)dx}<\infty \)

se \(l= \infty\)  \(\Rightarrow \) se \(\,\,\int\limits_{E}{g(x)dx}=\infty \,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\int\limits_{E}{f(x)dx}=\infty \)

 INTEGRALI PER CONFRONTO ASINTOTICO

\(\int\limits_{1}^{\infty }{\frac{1}{{{x}^{\alpha }}}dx}=\left\{ \begin{align} & \infty \,\,\,\,\,\,se\,\,\alpha \le 1\\ & <\infty \,\,se\,\,\alpha >1 \\ \end{align} \right.\)

\(\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{x}^{\alpha }}}dx}=\left\{ \begin{align} & \infty \,\,\,\,\,\,se\,\,\alpha \ge 1 \\& <\infty \,\,se\,\,\alpha <1 \\ \end{align} \right.\)

\(\int\limits_{2}^{\infty }{\frac{1}{x{{\log }^{\alpha }}x}dx}=\left\{ \begin{align}   & \infty \,\,\,\,\,\,se\,\,\alpha <1 \\  & <\infty \,\,se\,\,\alpha >1 \\ \end{align} \right.\)

\(f(x)\,\,\,\) a segno variabile su \(E\) (dove \(E\) è l’intervallo di integrazione)

CRITERIO DI ASSOLUTA INTEGRABILITÀ

\(\int\limits_{E}{\left| f(x) \right|dx}<\infty \,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\int\limits_{E}{f(x)dx}\,\,\,<\infty\)

\(\int\limits_{E}{\left| f(x) \right|dx}=+\infty \,\,\,\,\Rightarrow \) non si può concludere niente sulla convergenza dell’integrale

Esempio

Determinare per quali valori di \(\alpha \in \mathbb{R}\) converge l’integrale \(\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt[\alpha ]{{{x}^{3}}-1}}dx}\)

Per prima cosa verifichiamo i punti in cui l’integrale risulta improprio:

  • Dobbiamo considerare l’estremo superiore dell’integrale che è \(+\infty \)
  • Dobbiamo considerare che per \(x\to 1\), la quantità sotto radice diventa infinitesima.

L’integrale pertanto risulta improprio in \({{1}^{+}}\) e in \(+\infty\) . Per studiare la convergenza, bisogna dividere l’integrale in due, ad esempio:

\(\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt[\alpha ]{{{x}^{3}}-1}}dx}=\int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{\sqrt[\alpha ]{{{x}^{3}}-1}}dx}+\int\limits_{3}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt[\alpha ]{{{x}^{3}}-1}}dx}\)

La convergenza si ha se convergono entrambe gli integrali sotto esame:

Iniziamo dal primo \(\int\limits_{1}^{3}{\,\frac{1}{\sqrt[\alpha ]{{{x}^{3}}-1}}dx}\)

Per studiare la convergenza in \({{1}^{+}}\), bisogna valutare il comportamento per \(x\to {{1}^{+}}\) della funzione integranda, ma visto che lo si vuole confrontare con l’integrale \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{x}^{\alpha }}}dx}\) che converge per \(\alpha <1\) . Risulta molto utile effettuare un cambio di variabile nel limite, cioè porre \(x-1=t\) , così si ha un limite per \(x\to {{0}^{+}}\)

\(\frac{1}{\sqrt[\alpha ]{{{x}^{3}}-1}}\xrightarrow{x=t+1}\frac{1}{\sqrt[\alpha ]{{{\left( t+1 \right)}^{3}}-1}}=\frac{1}{\sqrt[\alpha ]{{{t}^{3}}+3\,{{t}^{2}}\,+\,3t\,+1-1}}\,\,\,\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\sim }}\,\frac{1}{\sqrt[\alpha ]{3t\,}}=\frac{1}{\sqrt[\alpha ]{3}}\,\frac{1}{{{t}^{\frac{1}{\alpha }}}}\)

La convergenza si ha quando \(\frac{1}{\alpha }<1\) , ovvero $\alpha <0\,\vee \,\alpha >1\)

Convergenza del secondo integrale:  \(\int\limits_{3}^{+\infty }{\,\frac{1}{\sqrt[\alpha ]{{{x}^{3}}-1}}dx}\)

In questo caso bisogna valutare il comportamento asintotico della funzione integranda per \(x\to +\infty \) , e andarla a confrontare con \(\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{1}{{{x}^{\alpha }}}dx}\) che converge per \(\alpha >1\) .

\(\frac{1}{\sqrt[\alpha ]{{{x}^{3}}-1}}\underset{x\to +\infty }{\mathop{\sim }}\,\,\,\frac{1}{\sqrt[\alpha ]{{{x}^{3}}}}=\frac{1}{{{x}^{\frac{3}{\alpha }}}}\)

La convergenza si ha in questo caso \(\frac{3}{\alpha }>1\) , ovvero \(0<\alpha <3\) Facendo l’intersezione delle soluzioni, si ha

Intersezione tra le due condizioni di convergenza
Intersezione tra le due condizioni di convergenza

Cioè l’integrale converge per \(1<\alpha <2\)

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