Teoremi di Cesaro

 TEOREMA DI CESARO-STOLTZ

Siano \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) e \({{\left\{ {{b}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) due successioni numeriche, con \({{\left\{ {{b}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) strettamente positiva, strettamente crescente e illimitata.

Se esiste il limite \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}}{{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}}\), allora esiste anche il limite  \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}\) e i due valori coincidono: \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}}{{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}}\)

Esempio:

Supponiamo di voler calcolare il seguente limite:

\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{k}^{2}}}{k+1}}}{{{n}^{2}}}\,\,\,\)

Svolgimento:

Per fare ciò definiamo

\(\,\,\,{{a}_{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{k}^{2}}}{k+1}}\,\,\) e  \({{b}_{n}}={{n}^{2}}\,\,\,\)

A questo punto calcoliamo il limite:

\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}}{{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{\left( 2n+1 \right)\left( n+1 \right)}\sim \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{2{{n}^{2}}}=\frac{1}{2}\)

E per il teorema di Cesaro-Stoltz si avrà che

\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{k}^{2}}}{k+1}}}{{{n}^{2}}}\,\,\,=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\frac{1}{2}$\)

I TEOREMA DI CESARO

Data una successione \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\), consideriamo la successione \({{\left\{ {{\alpha }_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) delle sue medie, ovvero la successione definita da

\({{\alpha }_{n}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}{{{a}_{k}}},\,\,\,n\in \mathbb{N}\)

Se \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) converge al valore l, allora anche \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\), ovvero

\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\alpha }_{n}}=l\)

II TEOREMA DI CESARO

Supponiamo che la successione \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) sia tale che:

\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=l\)

Allora vale anche

\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l\)

III TEOREMA DI CESARO

Supponiamo che la successione \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) abbia limite l e che si abbia \({{a}_{n}}>0\,\forall n\in \mathbb{N}\). Allora

\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{\prod\limits_{k=0}^{n-1}{a_{k}^{{}}}}=l\)

IV TEOREMA DI CESARO (CRITERIO DEL RAPPORTO-RADICE)

Sia \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) una successione tale che \({{a}_{n}}>0\,\forall n\in \mathbb{N}\) . Vale la seguente implicazione

\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=l\,\,\Rightarrow \,\,\,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}=l\)

Esempio:

Si vuole calcolare il seguente limite: \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\)

Soluzione

Per cominciare portiamo tutto sotto radice:

\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\,\,\,=\,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{\frac{n!}{{{n}^{n}}}\,}\,=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}\)

Per il IV teorema di Cesaro posso calcolare equivalentemente:

\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( n+1 \right)!}{{{\left( n+1 \right)}^{n+1}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\,\frac{{{n}^{n}}}{{{\left( n+1 \right)}^{n}}}=\frac{1}{{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}}=\frac{1}{e}\)

Quindi possiamo concludere che il risultato del nostro limite è:

\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\,\,\,=\frac{1}{e}\)

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