Formulario di topologia sull’asse dei reali

Per topologia si intende qui topologia sull’asse dei reali .

MASSIMO E MINIMO DI UN INSIEME

\(M=\max A\in \mathbb{R}\)se
\(\begin{align}
& \left( i \right)M\ge a\,\,\,\forall a\in \mathbb{R} \\
& \left( ii \right)M\in A \\
\end{align}\)

\(m=\min A\in \mathbb{R}\)se
\(\begin{align}
& \left( i \right)M\le a\,\,\,\forall a\in \mathbb{R} \\
& \left( ii \right)M\in A \\
\end{align}\)

ESTREMO SUPERIORE ED ESTREMO INFERIORE

\(L=\sup A\)se
\(\begin{align}
& \left( i \right)L\ge a\,\,\,\forall a\in \mathbb{R} \\
& \left( ii \right)L\,\,\text{ }\!\!\grave{\mathrm{e}}\!\!\text{ }\,\,\text{il}\,\,\text{pi }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ }\,\,\text{piccolo}\,\,\text{dei}\,\,\text{maggioranti} \\
\end{align}\)

\(L=\inf A\) se
\(\begin{align}
& \left( i \right)L\le a\,\,\,\forall a\in \mathbb{R} \\
& \left( ii \right)L\,\,\text{ }\!\!\grave{\mathrm{e}}\!\!\text{ }\,\,\text{il}\,\,\text{pi }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ }\,\,\text{grande}\,\,\text{dei}\,\,\text{minoranti} \\
\end{align}\)

PUNTI DI ACCUMULAZIONE

\({{x}_{0}}\in acc\left( A \right)\Leftrightarrow \forall \delta >0\,\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap A\,\,\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\ne \varnothing \)

PUNTI INTERNI

\({{x}_{0}}\in A{}^\circ \Leftrightarrow \exists \delta >0:\,\,\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\subset A\)

PUNTI ISOLATI

\({{x}_{0}}\in A\),  è un punto isolato di A se
\(\exists \delta >0:\,\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap A=\left\{ {{x}_{0}} \right\}\)

PUNTI DI FRONTIERA

\({{x}_{0}}\in \partial A\Leftrightarrow \forall \delta >0\,\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap A\ne \varnothing \,\,\,e\,\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap {{A}^{c}}\ne \varnothing \)

PUNTI DI CHIUSURA O ADERENZA

\({{x}_{0}}\in \bar{A}\Leftrightarrow \forall \delta >0\,\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap A\ne \varnothing \,\,\)
\(\bar{A}=A\cup acc(A)\)

INSIEMI APERTI

Un insieme non vuoto\(A\subset \mathbb{R}\) è aperto se \(A{}^\circ =A\)

INSIEMI CHIUSI

\(acc\left( A \right)\subset A\)

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