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La definizione di limite per funzioni di una variabile reale si estende alle funzioni di due variabili reali. Per calcolare il limite in questo caso, dobbiamo considerare il comportamento della funzione vicino a un punto nello spazio bidimensionale. Verifichiamo se esiste un limite quando entrambe le variabili si avvicinano a quel punto, immaginando una superficie tridimensionale rappresentante la funzione.
Il limite della funzione sarà il valore al quale la funzione si avvicina quando ci muoviamo lungo questa superficie e ci avviciniamo sempre di più a un punto specifico. Per calcolare il limite di una funzione di due variabili reali, possiamo utilizzare le stesse tecniche e regole che applichiamo per le funzioni di una variabile.
Possiamo avvicinarci al punto in diverse direzioni, verificando che il valore limite sia lo stesso indipendentemente dalla direzione di avvicinamento. Inoltre, possiamo utilizzare le coordinate polari o cartesiane per semplificare il calcolo del limite in determinati casi. In conclusione, il concetto di limite per funzioni di due variabili reali ci permette di comprendere come il valore di una funzione si comporta quando ci avviciniamo a un punto specifico nel piano.
Attraverso esempi e esercizi pratici, possiamo approfondire la nostra comprensione di questo concetto e imparare a calcolare i limiti delle funzioni di due variabili in modo accurato e efficace.
Funzione che tende ad un limite finito
Consideriamo un insieme $A$ aperto di ${{\mathbb{R}}^{2}}$ e una funzione $f:A\to \mathbb{R}$. Consideriamo ${{P}_{0}}=({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ che sia punto di accumulazione per l’insieme $A$ (se ciò non è verificato, non ha senso il limite).
Definizione di limite di funzione di due variabili reali che tende ad un valore finito
Si dice che il limite della funzione $f(x,y)$ per $(x,y)\to (x_0,y_0)$ tende (o converge) a $l\in \mathbb{R}$ e si scrive
$\underset{(x,y)\to ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}\,f\left( x,y \right)=l$
se, qualunque sia $\varepsilon >0$, esiste un $\delta >0$ tale che:
$\left| f(x,y)-l \right|<\varepsilon $
Per ogni $(x,y)\in A$ , con $0<\left| (x,y)-({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \right|<\delta $, ovvero $0<\sqrt{{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}}<\delta $.
Questa che abbiamo appena visto è la definizione di limite di funzione di due variabili reali nel caso in cui il limite tende ad un valore finito.
Funzione che tende ad un limite infinito
Consideriamo un insieme $A$ aperto di ${{\mathbb{R}}^{2}}$ ed una funzione $f:A\to \mathbb{R}$. Consideriamo ${{P}_{0}}=({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ che sia punto di accumulazione per l’insieme $A$ sull’insieme ${{\mathbb{R}}^{2}}$ esteso all’infinito (se ciò non è verificato, non ha senso il limite).
Definizione di limite di funzione di due variabili reali che tende ad infinito
Si dice invece che una funzione $f(x,y)$ per $(x,y)\to (x_0,y_0)$ tende (diverge) ad infinito positivamente $+\infty $
e si scrive
$\underset{(x,y)\to ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}\,f\left( x,y \right)=+\infty$
se, qualunque sia $M>0$, esiste un $\delta >0$e che
$f(x,y)>M$
Per ogni $(x,y)\in A$, con $0<\left| (x,y)-({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \right|<\delta $, ovvero $0<\sqrt{{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}}<\delta $.
Questa che abbiamo appena visto è la definizione di limite di funzione di due variabili reali nel caso in cui il limite tende ad un valore infinito. La definizione si può estendere al caso in cui il limite tenda a $-\infty$ senza difficoltà.
Esercizi su limite di funzione di due variabili reali
Per ciascun esercizio, andremo a determinare l’esistenza del limite e quindi il valore numerico a cui tende delle seguenti funzioni oppure a dimostrare la loro inesistenza.
Esercizi sui limiti di due variabili con il metodo della parametrizzazione lineare (y=mx)
Esempio di risoluzione di limiti di due variabili reali con $(x,y) \to (0,0)$ attraverso il metodo della sostituzione y=mx (quando si può usare e quando il metodo risulta inutilmente complicato):
Ecco i limiti da calcolare (consiglio: tenta di risolverli autonomamente prima di controllare la soluzione):
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{xy}{x+y}$
$ \underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{x+y} $
$ \underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x³ \cdot y²}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}$
Esercizi sui limiti di due variabili con il metodo delle coordinate polari
Vogliamo calcolare il limite di funzione di due variabili reali $f(x,y)$ con le coordinate polari definite dalla seguente trasformazione:
$ \begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \end{cases} $
Ecco i limiti di due variabili reali da calcolare (consiglio: tenta di risolverli autonomamente prima di controllare la soluzione):
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
$ \underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
$ \underset{\left( x,y \right)\to \left( -1,2 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+5}$
Altri esercizi da svolgere liberamente
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{4}}}}}$
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}$
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}{{\log }^{3}}y}{{{\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]}^{2}}}$
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}-\cos \left( \sqrt{2}y \right)}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}$
$\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{1+{{x}^{4}}+{{y}^{2}}}$
Esempio di limite di funzione di due variabili che non esiste
Problema
Vogliamo calcolare il seguente limite:
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{4}}}}}$
Continua a leggere la soluzione, un esempio di limite di funzione in due variabili inesistente.
Soluzione
È molto probabile che questo non esista visto che all’esponente c’è un rapporto diretto tra le due variabili x e y. Per dimostrare che non esiste possiamo mostrare che il risultato del limite dipende dall’ordine di infinitesimo del numeratore rispetto a quello del denominatore. Infatti, x e y sono variabili indipendenti e quindi sarebbe un errore pensare ad esempio che l’ordine di infinitesimo del numeratore è 2 e quello del denominatore è 4.
Per rendere confrontabili numeratore e denominatore bisogna scegliere una opportuna parametrizzazione per le variabili $x$ ed $y$. Il limite esiste se indipendentemente dalla parametrizzazione scelta, il risultato del limite non cambia.
Poniamo ad esempio:
$x={{t}^{2}},\,\,y=t$
La parametrizzazione è corretta infatti se $x\to 0$ anche ${{t}^{2}}\to 0$ e se $y\to 0$ anche $t\to 0$, quindi se $(x,y)\to (0,0)$ anche la curva $({{t}^{2}},t)\to (0,0)$. Sostituendo la parametrizzazione nel limite si ha:
$\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,{{e}^{-\frac{{{t}^{4}}}{{{t}^{4}}}}}={{e}^{-1}}$
A questo punto proviamo a cambiare parametrizzazione ed utilizziamo ad esempio:
$x={{t}^{4}},\,\,y=t$
Anche questa parametrizzazione è corretta, per le stesse ragioni del caso precedente. Sostituiamo la parametrizzazione nel limite e si ottiene:
$\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,{{e}^{-\frac{{{t}^{8}}}{{{t}^{4}}}}}={{e}^{0}}=1$
A questo punto, osservando che a seconda della parametrizzazione scelta, il valore del limite cambia, possiamo concludere che il limite non esiste.
Esempio di Dimostrazione che il limite di funzione di due variabili non esiste
Problema
Vogliamo calcolare il seguente limite
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}$
Continua a leggere la soluzione, vedremo come notare e dimostrare che il limite di funzione di due variabili non esiste.
Soluzione
Come prima cosa proviamo a fare alcuni passaggi algebrici raccogliendo $x²$ al numeratore e al denominatore:
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( \frac{{{y}^{2}}}{x} \right)}{{{x}^{2}}\left( 1+\frac{{{y}^{4}}}{{{x}^{2}}} \right)}$
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{1+{{t}^{2}}}$
Dove abbiamo introdotto la variabile t definita come $t=\frac{{{y}^{2}}}{x}$ .
t è una quantità che può tendere a qualsiasi cosa, a seconda di come varia l’ordine di infinitesimo della variabile $x$ rispetto a quello della variabile $y$. Si può verificare facilmente che a seconda del valore assunto dalla variabile t il limite cambia.
Il limite esiste se indipendentemente da come si mette in relazione la variabile x con la variabile y il risultato del limite non cambia.
Se ad esempio si pone $x={{y}^{2}}$, la relazione è corretta perché se $x\to 0$ anche $y\to 0$ . In questo caso si ha che $t\to 1$ e il risultato del limite in questo caso sarebbe $\frac{1}{2}$ .
Se invece si pone $x=y$ , $t\to 0$ e il risultato del limite sarebbe $0$.
Il risultato del limite dipende da come si mette in relazione la variabile x alla variabile y e quindi il limite non esiste.
Esempio di Esercizio sui limiti di funzioni di due variabili reali
Problema
Vogliamo calcolare il seguente limite
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}{{\log }^{3}}y}{{{\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]}^{2}}}$
Continua a leggere la soluzione dell’esercizio sui limiti di funzioni di due variabili reali
Soluzione
Come prima cosa proviamo a fare alcuni passaggi algebrici cercando di isolare un limite notevole:
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}{{\log }^{3}}y}{{{\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]}^{2}}}$
$=\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\log }^{3}}\left( 1+y-1 \right)}{{{\left( y-1 \right)}^{3}}}\frac{{{\left( y-1 \right)}^{3}}{{x}^{2}}}{{{\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]}^{2}}}$
$=\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\log }^{3}}\left( 1+y-1 \right)}{{{\left( y-1 \right)}^{3}}}\frac{\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}}{{{\left[ \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+1 \right]}^{2}}}\left( y-1 \right)$
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{\log \left( 1+y-1 \right)}{\left( y-1 \right)} \right]\left[ \frac{{{t}^{2}}}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \right](y-1)=0$
Questo limite esiste e fa zero, ma commentiamo il risultato.
Nell’ultimo passaggio si può notare che abbiamo scritto il limite come il prodotto di tre fattori e analizziamoli singolarmente.
Il primo fattore dipende dalla sola variabile y $\underset{y\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\log \left( 1+y-1 \right)}{\left( y-1 \right)}=1$ perché corrisponde al limite notevole $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\log \left( 1+x \right)}{x}=1$
Il secondo fattore $\frac{{{t}^{2}}}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$ è una quantità limitata, infatti si può facilmente verificare che $0\le \frac{{{t}^{2}}}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}}<1$ per ogni $t\in \mathbb{R}$.
Il terzo fattore $\left( y-1 \right)\to 0$ visto che $y\to 1$.
Il risultato del limite quindi è $0$ perché si tratta del prodotto di due quantità limitate per una quantità che tende a zero.
Esercizio svolto limite di funzione di due variabili reali
Problema
Vogliamo calcolare il seguente limite
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}-\cos \left( \sqrt{2}y \right)}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}$
Continua a leggere l’esercizio svolto limite di funzione di due variabili reali.
Soluzione
Notiamo la presenza di una funzione esponenziale e un coseno al numeratore e che i rispettivi argomenti tendono a zero. È possibile approssimare queste funzioni con espressioni polinomiali attraverso l’utilizzo dei limiti notevoli.
Utilizzeremo $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{x}=1$ che in termini di asintotici può essere espresso nella seguente forma:
Se $x\to 0$ $\Rightarrow $ ${{e}^{x}}\sim 1+x$
Per il caso in esame vale: Se $\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)$ $\Rightarrow $ ${{e}^{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}\sim 1+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}$
E per approssimare il coseno si può usare il limite notevole $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}$ che in termini di asintotici diventa:
Se $x\to 0$ $\Rightarrow $ $\cos x\sim 1-\frac{{{x}^{2}}}{2}$
Quindi se $\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)$ $\Rightarrow $ $\cos \left( \sqrt{2}y \right)\sim 1-\frac{2{{y}^{2}}}{2}=1-{{y}^{2}}$
Facciamo quindi le comode approssimazioni asintotiche al numeratore:
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}-\cos \left( \sqrt{2}y \right)}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}$ $=\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+o({{x}^{2}}-{{y}^{2}})-1+{{y}^{2}}}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}\sim \underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}$
A questo punto si vede chiaramente che il numeratore è confrontabile con il denominatore e che quindi molto probabilmente il limite non esiste. Andiamo quindi a dimostrare che il limite non esiste, ricordando che un limite esiste se indipendentemente da come si mettono in relazione la variabile x alla variabile y, il limite non cambia.
Poniamo ad esempio $x={{y}^{2}}$ andiamo a sostituire nel limite e si ha:
$\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{y}^{4}}}{6{{y}^{4}}+{{y}^{4}}}=\frac{1}{7}$
Poniamo a questo punto $x=2{{y}^{2}}$ e sostituendo nel limite si ha:
$\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{y}^{4}}}{24{{y}^{4}}+{{y}^{4}}}=\frac{4}{25}$
A questo punto è chiaro che il limite dipende da come si mettono in relazione la variabile x con la variabile y e possiamo concludere che il limite non esiste.
Esempio di Limite all’infinito di funzione di due variabili reali
Problema
Vogliamo calcolare il seguente limite
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( \infty ,\infty \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{1+{{x}^{4}}+{{y}^{2}}}$
Continua a leggere la soluzione dell’esercizio sul limite all’infinito di funzione di due variabili reali
Soluzione
Così come avviene quando $(x,y)\to (0,0)$, anche nel caso di $(x,y)\to (\infty ,\infty )$, il limite esiste se indipendentemente da come si mettono in relazione le variabili x ed y, il risultato del limite non cambia.
Proviamo a mettere in relazione x ed y, cercando di sbilanciare l’ordine di infinito al numeratore con quello al denominatore.
Per fare ciò creiamo una prima relazione tra le variabili x ed y, ad esempio proviamo a porre $y={{x}^{10}}$. La relazione è corretta perché se $x\to \infty $ anche $y\to \infty $. Andiamo quindi a sostituire nel limite e si ha:
$ \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{21}}}{1+{{x}^{4}}+{{x}^{20}}}=\infty $
A questo proviamo a relazionare diversamente le due variabili reali, ad esempio con $y=x$. Andiamo a sostituire nel limite e si ottiene
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}}{1+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}}=0$
A questo punto è chiaro che il limite dipende da come si mettono in relazione la variabile x con la variabile y e possiamo concludere che il limite non esiste.
Abbiamo quindi mostrato un esercizio svolto limite di funzione di due variabili reali di due variabili che non esiste.
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