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Enunciato del Teorema sulla limitatezza delle successioni convergenti
Il teorema afferma che: ogni successione convergente è limitata
Cosa si intende per successioni limitate?
Una successione si dice superiormente limitata se:
$$\exists M\in \mathbb{R} : {{a}_{n}}<M\,\,\forall n\in \mathbb{N}$$
Una successione si dice inferiormente limitata se:
$$\exists M\in \mathbb{R} : {{a}_{n}}>M\,\,\forall n\in \mathbb{N}$$
Definizione di successione limitata: Una successione si dice limitata se ammette sia limite superiore che inferiore.
Una successione è limitata se :
$$\exists M>0 : \left| {{a}_{n}} \right|<M,\,\,\forall n\in \mathbb{N}$$
Piccola osservazione:
Non vale il viceversa del teorema, cioè se una successione è limitata non è detto che ammette limite. Ad esempio la successione \({{a}_{n}}=\sin n\) non ammette limite ma è limitata tra -1 e 1.
Dimostrazione del Teorema sulla limitatezza delle successioni convergenti
Ipotesi:
la successione è convergente a $l$ numero reale finito:
$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l$
Tesi:
La successione è limitata, ovvero:
\(\exists M>0\) tale che \(\left| {{a}_{n}} \right|<M,\,\,\forall n\in \mathbb{N}\)
Dimostrazione:
Partiamo dall’ipotesi \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l\), e riscriviamo il limite usando la definizione formale:
\(\forall \varepsilon >0\,\exists k\in \mathbb{N}:\)\(\,l-\varepsilon <{{a}_{n}}<l+\varepsilon \,\forall n>k\).
A questo punto fisso un valore di \(\varepsilon =\bar{\varepsilon }\).
Basandoci sulla definizione di limite possiamo dedurre che è vera la seguente espressione:
\(\exists \bar{k}\in \mathbb{N}:\,l-\bar{\varepsilon }<{{a}_{n}}<l+\bar{\varepsilon }\,\forall n>\bar{k}\)
e quindi:
\({{a}_{n}}<l+\bar{\varepsilon }\,\,\,\,\forall n>\bar{k}\) e quindi la successione è limitata superiormente da \(\bar{k}\) in poi (definitivamente).
\({{a}_{n}}>l-\bar{\varepsilon }\,\,\,\,\forall n>\bar{k}\) e quindi la successione è limitata inferiormente da \(\bar{k}\) in poi (definitivamente).
La successione \({{a}_{n}},\,\,n=1,..,\bar{k}\) invece contiene esattamente \(\bar{k}\) elementi. Si tratta quindi di un insieme finito e quindi ammette sicuramente massimo e minimo. Infatti tra un numero finito di numeri reali c’è n’è sicuramente uno più piccolo e uno più grande di tutti.
Posso quindi concludere che la successione è limitata sia sui primi $\bar{k}$ elementi, sia su tutti i successioni.
Di conseguenza, la successione è limitata sia da \(n=\bar{k}\) in poi e sia per \(n=1,..,\bar{k}\), e quindi è limitata su tutto l’insieme dei numeri naturali.