Formulario di topologia sull’asse dei reali
Per topologia si intende qui topologia sull’asse dei reali .
MASSIMO E MINIMO DI UN INSIEME
$M=\max A \in \mathbb{R}$ se
$\begin{cases} \left( i \right) M \geq a \quad \forall a \in \mathbb{R} \\ \left( ii \right) M \in A \\\end{cases}$
$m=\min A \in \mathbb{R}$ se
$\begin{cases} \left( i \right) m \leq a \quad \forall a \in \mathbb{R} \\ \left( ii \right) m \in A \\\end{cases}$
ESTREMO SUPERIORE ED ESTREMO INFERIORE
$L=\sup A$ se
$\begin{cases} \left( i \right) L \geq a \quad \forall a \in \mathbb{R} \\ \left( ii \right) L \text{ è il più piccolo dei maggioranti} \\\end{cases}$
$L=\inf A$ se
$\begin{cases} \left( i \right) L \leq a \quad \forall a \in \mathbb{R} \\ \left( ii \right) L \text{ è il più grande dei minoranti} \\\end{cases}$
PUNTI DI ACCUMULAZIONE
\({{x}_{0}}\in acc\left( A \right)\Leftrightarrow \forall \delta >0\,\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap A\,\,\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\ne \varnothing \)
PUNTI INTERNI
\({{x}_{0}}\in A{}^\circ \Leftrightarrow \exists \delta >0:\,\,\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\subset A\)
PUNTI ISOLATI
\({{x}_{0}}\in A\), è un punto isolato di A se
\(\exists \delta >0:\,\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap A=\left\{ {{x}_{0}} \right\}\)
PUNTI DI FRONTIERA
\({{x}_{0}}\in \partial A\Leftrightarrow \forall \delta >0\,\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap A\ne \varnothing \,\,\,e\,\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap {{A}^{c}}\ne \varnothing \)
PUNTI DI CHIUSURA O ADERENZA
\({{x}_{0}}\in \bar{A}\Leftrightarrow \forall \delta >0\,\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap A\ne \varnothing \,\,\)
\(\bar{A}=A\cup acc(A)\)
INSIEMI APERTI
Un insieme non vuoto\(A\subset \mathbb{R}\) è aperto se \(A{}^\circ =A\)
INSIEMI CHIUSI
\(acc\left( A \right)\subset A\)