Archivio per Categoria Definizioni Matematiche

Dimarco casparriello

Insiemi finiti e Insiemi Infiniti

INSIEMI MATEMATICI

In matematica un insieme è un raggruppamento di elementi non necessariamente numerici.

Gli insiemi possono essere costruiti per elenco, rappresentando tra parentesi graffe tutti gli elementi che lo compongono separati da una virgola, oppure per proprietà, a patto che sia possibile poi identificare in maniera univoca tali elementi.

Un esempio di raggruppamento che non costituisce un insieme matematico è l’insieme dei film Horror che piacciono di più, perché non esiste un criterio univoco che identifica esattamente gli elementi di tale insieme.

Diversamente l’insieme di tutti i numeri naturali maggiori di 4 è un insieme che possiamo rappresentare per elenco come \(\left\{ 5,6,7,8,9,10,… \right\}\)  oppure per proprietà come \(\left\{ x\in \mathbb{N}:\,\,x>4 \right\}\)

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Simboli usati per gli insiemi

In matematica in genere si utilizzano le lettere maiuscole A,B,C,.. per rappresentare gli insiemi mentre le lettere minuscole per rappresentare gli elementi in essi contenuti.

Ad esempio per indicare un elemento che appartiene all’insieme A scriveremo che \(a\in A\), mentre per indicare che non vi appartiene scriveremo che \(a\notin A\).

Diremo che un insieme A è contenuto in un insieme B se tutti gli elementi dell’insieme A sono contenuti in B.

Distinguiamo il simbolo di strettamente contenuto \(A\subset B\) che si utilizza quando l’insieme B ha almeno un elemento in più rispetto ad A, oltre a tutti gli elementi di A.

Si usa il simbolo di contenuto in senso lato, che si legge contenuto o uguale, e in simboli si scrive \(A\subseteq B\), quando gli insiemi possono anche essere uguali, ovvero contenere esattamente gli stessi elementi.

A volte si utilizza per ragioni di comodità una simbologia diversa, ad esempio \(A\supset B\) si legge che B è contenuto in A. Oppure \(A\supseteq B\)e si legge B contenuto o uguale ad A.

Insiemi finiti e infinti

Un insieme si dice finito se contiene un numero finito di elementi.

Un insieme si dice infinito se contiene un numero illimitato di elementi.

Gli insiemi numerici dei numeri naturali, relativi, razionali, irrazionali, reali e complessi sono tutti insiemi infiniti.

L’insieme dei numeri naturali compresi tra 5 e 7 è ad esempio un insieme finito.

In formule \(\left\{ x\in \mathbb{N}:\,\,5\le x\le 7 \right\}\) è un insieme finito di elementi, ovvero è un insieme che contiene esattamente 3 elementi

L’insieme \(\left\{ x\in \mathbb{R}:\,\,5\le x\le 7 \right\}\) è invece un insieme infinito di elementi visto che ci sono infiniti numeri reali compresi tra 5 e 7


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.

Dimarco casparriello

Insiemi di numeri

INSIEMI DI NUMERI

Prima di entrare nel vivo della materia è bene fare una presentazione degli insiemi di numeri su cui si opera e a partire dai quali si costruisce tutta l’analisi matematica. Ecco l’elenco dei principali insiemi numerici:

\(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,…\}\) denota l’insieme dei numeri naturali.
\(\mathbb{Z}=\{..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..\}\)è l’insieme dei numeri relativi
\(\mathbb{Q}=\{\pm \frac{m}{n},\,\,con\,\,m\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N}\}\)è l’insieme dei numeri razionali
\(\mathbb{R}\) è l’insieme dei numeri reali. Due sottoinsiemi di esso sono: \({{\mathbb{R}}^{+}}\)insieme dei numeri reali positivi escluso lo zero e \(\mathbb{R}_{0}^{+}\) che include lo zero.

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\(\mathbb{C}=\left\{ z=x+i\,y;\,\,\,\,x,y\in \mathbb{R} \right\}\,\,\)è l’insieme dei numeri complessi. Questo insieme è un estensione dei numeri reali e si costruisce a partire da essi introducendo l’unità immaginaria \(i=\sqrt{-1}\) e che vedremo nel dettaglio più avanti.

Si osserva che tra gli insiemi numerici vale la seguente relazione: \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\).

I numeri naturali sono tutti i relativi con il segno positivo. I numeri relativi possono essere visti come numeri razionali ponendo \(n=1\) al denominatore oppure come frazioni dove il numeratore è multiplo del denominatore. Una riflessione va fatta per quanto riguarda la relazione tra numeri razionali e reali.
Qualsiasi numero con un numero finito di cifre dopo la virgola può essere scritto come frazione, ovvero come numero razionale. Poniamoci a questo punto una domanda: tutti i numeri possono essere scritti come numeri razionali?
Per rispondere a questa domanda basta trovare un controesempio, cioè un numero che non può essere scritto come frazione. L’esempio in questione è il numero \(\sqrt{2}\), e a questo punto andiamo a dimostrarlo per assurdo.
Come prima cosa bisogna negare la tesi, quindi per assurdo assumiamo che \(\sqrt{2}\)può essere scritto come il rapporto tra due numeri primi tra loro (se non lo fossero basterebbe semplificare).


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.