Rappresentare insiemi per proprietà

Rappresentare insiemi per proprietà

Rappresentare insiemi per proprietà è una tecnica di rappresentazione insiemistica in cui si scrive tra parentesi graffa la proprietà che caratterizza questo tipo di insiemi . Questo tipo di rappresentazione è anche detta rappresentazione intensiva , ed è un tipo di rappresentazione in cui non si elencano gli elementi, come nella rappresentazione estensiva, ma si scrive tra parentesi graffa una o più proprietà che lo caratterizzano.

Naturalmente rappresentare insiemi per proprietà permette di rappresentare meglio insiemi infiniti , ma in alcuni casi può risultare un po’ più difficile. In ogni caso è un tipo di rappresentazione più esaustiva ed elegante . Ma ora passiamo a qualche esempio che chiarirà meglio i concetti appena espressi.

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Vediamo alcuni esempi in cui usiamo la rappresentazione per proprietà

Esempio di insieme non numerico

Rappresentare per proprietà l’insieme A dei mammiferi. Scriveremo:

A={x : x è un mammifero}

E si legge “A è l’insieme delle x tali che x è un mammifero”

Naturalmente a questo insieme appartengono le scimmie, maiali, cinghiali, zebre , asini, perché rispettano la proprietà. Invece non rispettano la proprietà e quindi non appartengono all’insieme A serpenti, insetti, uccelli.

Esempio di insieme reale

La rappresentazione per proprietà dell’insieme B dei numeri reali e positivi è:

\[B=\{x\in \mathbb{R}\ |\ x>0\}\]

E si legge “B è l’insieme delle x appartenenti ad R (insieme dei numeri reali) tali che x>0”

Esempio di insieme dei numeri dispari

L’insieme C dei numeri dispari maggiori di 6 ammette come rappresentazione intensiva:

\[C=\{x\in \mathbb{N}\ |\ \,x>6,\ \,x\,\grave{e}\,dispari\}\]

Possiamo rappresentare l’insieme per proprietà in maniera più elegante scrivendolo in questa maniera

\[C=\{x\ |\ \,x=2n+1,\ \,n>2,\,\,n\in \mathbb{N}\}\]

Questo insieme si legge “C è l’insieme degli x tali che x=2n+1 con n maggiore di 2 e appartenente ai numeri naturali (quindi n=3,4,5,6,…)”

In entrambi i casi abbiamo utilizzato più condizioni che messe insieme identificano univocamente l’insieme dei numeri dispari maggiori di 6 , e cioè: 7,9,11,13,15,..

Più semplicemente si poteva scrivere:

C={x| x è un numero dispari maggiore di 6}

Ricorda di indicare l’insieme universo

Per concludere se vogliamo rappresentare l’insieme dei numeri naturali compresi tra 10 e 100 , scrivendo \[C=\{x\ |\ \,10\le x\le 100\}\] commetteremmo un errore, perché non specifichiamo che si tratta di numeri naturali , e quindi scritto così anche 10.1 apparterebbe a questo insieme, mentre è corretto scrivere \[C=\{x\ |\ \,10\le x\le 100,\,x\in \mathbb{N}\}\]


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.