Dimostrazione che √2 é un numero irrazionale

  2  É UN NUMERO IRRAZIONALE

In questa lezione vediamo che √2 è un numero irrazionale. La dimostrazione è per assurdo, negando la tesi che è irrazionale. Si ipotizza che esso è un numero razionale e si arriva ad un assurdo.

\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) . Se \(m\) e \(n\) sono primi tra loro, lo sarebbero anche \(\frac{{{m}^{2}}}{{{n}^{2}}}=\frac{m}{n}\cdot \frac{m}{n}\) visto che nella frazione ottenuta non si può semplificare niente, e quindi anche \({{m}^{2}}\) e \({{n}^{2}}\) dovrebbero essere primi fra loro. Poiché però \[{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}={{\left( \frac{m}{n} \right)}^{2}}\,\Rightarrow \,\,\,\,\frac{{{m}^{2}}}{{{n}^{2}}}=2\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{{m}^{2}}=2{{n}^{2}}\], si avrebbe che \({{m}^{2}}\) è il doppio di \({{n}^{2}}\)andando a negare che sono primi tra loro e quindi si arriva alla contraddizione. Quindi è assurdo negare la tesi e quindi la tesi è vera!

Quindi come abbiamo visto non tutti i numeri possono essere scritti come frazioni. A questo insieme appartengono tutti i numeri che prendono il nome di numeri irrazionali e tra questi ricordiamo il pi greco \(\pi =3.14\), il numero di Nepero \(e=2.71828\).

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