Esercizi su insiemi reali (topologia dell’asse dei reali)

ESERCIZI SU INSIEMI REALI 

In questo video svolgo due esercizi relativi agli insiemi reali. In particolare dati due esempi di insiemi, mostro come trovare i relativi insiemi dei punti di accumulazione, punti isolati, punti di frontiera, estremi superiori ed inferiori, limitatezza inferiore e superiore, massimo e minimo (se esistono) e dire se gli insiemi sono aperti o chiusi.

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alcune regole che É bene ricordare
  • i punti di accumulazione sono tutti quei punti in cui l’insieme diventa denso, cioè se costruisco un intorno del punto, comunque piccolo lo prendo, vedo sempre un insieme di infiniti punti.
  • un insieme non sempre ammette massimo e minimo, ma quando essi esistono coincidono con gli estremi superiore ed inferiore rispettivamente.
  • il massimo di un insieme esiste quando tra tutti gli elementi dell’insieme è possibile individuare un elemento più grande di tutti.
  • i punti isolati non sono punti di accumulazione, perchè esiste un intervallo finito che li separa dagli altri elementi dell’insieme.
  • i punti interni si trovano soltanto all’inerno degli intervalli.

dato un insieme reale:

  • si dice aperto, quando l’insieme è fatto di soli punti interni, quindi un insieme è aperto solo se è composto da soli intervalli aperti.
  • si dice chiuso, quando contiene tutti i punti di accumulazione.
  • non può essere sia aperto che chiuso.
  • può essere nè aperto, nè chiuso (è molto probabile che succede).
  • la chiusura (aderenza) di un insieme si ottiene aggiungendo all’insieme ciò che manca per essere chiuso, ovvero i punti di accumulazione esterni all’insieme.

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