Insiemi Matematici

In matematica un insieme è un raggruppamento di elementi non necessariamente numerici.

Gli insiemi possono essere costruiti per elenco, rappresentando tra parentesi graffe tutti gli elementi che lo compongono separati da una virgola, oppure per proprietà, a patto che sia possibile poi identificare in maniera univoca tali elementi.

Un esempio di raggruppamento che non costituisce un insieme matematico è l’insieme dei film Horror che piacciono di più, perché non esiste un criterio univoco che identifica esattamente gli elementi di tale insieme.

Diversamente l’insieme di tutti i numeri naturali maggiori di 4 è un insieme che possiamo rappresentare per elenco come \(\left\{ 5,6,7,8,9,10,… \right\}\)  oppure per proprietà come \(\left\{ x\in \mathbb{N}:\,\,x>4 \right\}\)

Simboli usati per gli insiemi

In matematica in genere si utilizzano le lettere maiuscole A,B,C,.. per rappresentare gli insiemi mentre le lettere minuscole per rappresentare gli elementi in essi contenuti.

Ad esempio per indicare un elemento che appartiene all’insieme A scriveremo che \(a\in A\), mentre per indicare che non vi appartiene scriveremo che \(a\notin A\).

Diremo che un insieme A è contenuto in un insieme B se tutti gli elementi dell’insieme A sono contenuti in B.

Distinguiamo il simbolo di strettamente contenuto \(A\subset B\) che si utilizza quando l’insieme B ha almeno un elemento in più rispetto ad A, oltre a tutti gli elementi di A.

Si usa il simbolo di contenuto in senso lato, che si legge contenuto o uguale, e in simboli si scrive \(A\subseteq B\), quando gli insiemi possono anche essere uguali, ovvero contenere esattamente gli stessi elementi.

A volte si utilizza per ragioni di comodità una simbologia diversa, ad esempio \(A\supset B\) si legge che B è contenuto in A. Oppure \(A\supseteq B\)e si legge B contenuto o uguale ad A.

Insiemi finiti e infinti

Un insieme si dice finito se contiene un numero finito di elementi.

Un insieme si dice infinito se contiene un numero illimitato di elementi.

Gli insiemi numerici dei numeri naturali, relativi, razionali, irrazionali, reali e complessi sono tutti insiemi infiniti.

L’insieme dei numeri naturali compresi tra 5 e 7 è ad esempio un insieme finito.

In formule \(\left\{ x\in \mathbb{N}:\,\,5\le x\le 7 \right\}\) è un insieme finito di elementi, ovvero è un insieme che contiene esattamente 3 elementi

L’insieme \(\left\{ x\in \mathbb{R}:\,\,5\le x\le 7 \right\}\) è invece un insieme infinito di elementi visto che ci sono infiniti numeri reali compresi tra 5 e 7