formulario sulle derivate

DERIVATE

DERIVATe: funzione COSTANTE:

\(y=c\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y}’=0\)

POTENZA:

\(y={{x}^{a}}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y}’=a\,{{x}^{a-1}}\)
Caso particolare: la radice
\(y=\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y}’=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

ESPONENZIALE:

\(y={{a}^{x}}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y}’=\ln a\,\,{{a}^{x}}\)
\(y={{e}^{x}}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y}’=\,\,{{e}^{x}}\)

LOGARITMO:

\(y={{\log }_{a}}x\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y}’=\frac{1}{{{\log }_{a}}e\,\,\,x}\)
\(y=\ln x\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y}’=\frac{1}{\,x}\)

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE:

\(y=\sin x\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{y}’=\cos x\)
\(y=\cos x\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{y}’=-\sin x\)
\(y=\tan x\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{y}’=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=1+{{\tan }^{2}}x\)
\(y=\arcsin x\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{y}’=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\)
\(y=\arccos x\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,{y}’=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\)
\(y=\arctan x\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,{y}’=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\)

FUNZIONI IPERBOLICHE:

\(y=\sinh x\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{y}’=\cosh x\)
\(y=\cosh x\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{y}’=\sinh x\)
\(y=\tanh x\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{y}’=\frac{1}{{{\cosh }^{2}}x}=1-{{\tanh }^{2}}x\,\)
\(y={{\sinh }^{-1}}\,x\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{y}’=\frac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\)
\(y={{\cosh }^{-1}}x\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,{y}’=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}\)
\(y={{\tanh }^{-1}}x\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,{y}’=\frac{1}{1-{{x}^{2}}}\)

REGOLE DI DERIVAZIONE

PROPRIETA’ DI LINEARITA’:

\(\frac{d}{dx}\left[ \alpha \,f\left( x \right)+\beta \,g\left( x \right) \right]=\alpha \,{f}’\left( x \right)+\beta \,{g}’\left( x \right)\)

DERIVATA DEL PRODOTTO TRA DUE FUNZIONI

\(\frac{d}{dx}\left[ f\left( x \right)g\left( x \right) \right]={f}’\left( x \right)g\left( x \right)+f\left( x \right){g}’\left( x \right)\)

DERIVATA DEL RAPPORTO TRA DUE FUNZIONI

\(\frac{d}{dx}\left[ \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right]=\frac{{f}’\left( x \right)g\left( x \right)-f\left( x \right){g}’\left( x \right)}{{{\left[ g\left( x \right) \right]}^{2}}}\)

DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA

\(\frac{d}{dx}f\left[ g\left( x \right) \right]={f}’\left[ g\left( x \right) \right]\cdot {g}’\left( x \right)\)

DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA

\(\frac{d}{dx}\left[ {{f}^{-1}}\left( {{y}_{0}} \right) \right]=\frac{1}{{f}’\left( {{x}_{0}} \right)}\,\,\,\,\,\,dove\,\,\,{{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)\)

RETTA TANGENTE AD UN GRAFICO

\(y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)\)

DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE

Il differenziale di una funzione nel punto \({{x}_{0}}\) corrisponde all’approssimazione locale di Taylor del primo ordine, ed equivale ad approssimare la funzione in un intorno infinitesimo del punto \({{x}_{0}}\) la funzione \(f\left( x \right)\)
\(f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+{f}’\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x\)