Formulario sui Numeri Complessi

UNITÀ IMMAGINARIA dei numeri complessi

i numueri complessi hanno quindi l’unità immaginaria:

\(i=\sqrt{-1}\,,\) \({{i}^{2}}=-1\,,\) \({{i}^{3}}=i\cdot {{i}^{2}}=-i\,\,,\) \({{i}^{4}}={{i}^{2}}\cdot {{i}^{2}}=1\,,\,\,….\)

PIANO DI GAUSS

 

numeri complessi - piano di Gauss

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI COMPLESSI
  • FORMA ALGEBRICA  \(x=a+ib\,\,\,\,\) \(con\,\,\,\,a,b\in \mathbb{R}\)
  • FORMA ESPONENZIALE  \(x=\rho {{e}^{i\alpha }}\,\,\,\,\,\,,\rho >0\,\,\,\theta \in \left[ 0,2\pi \right]\)
  • FORMA TRIGONOMETRICA  \(x=\rho \cos \alpha +i\rho \sin \alpha\)
PASSARE DA UNA RAPPRESENTAZIONE ALL’ALTRA

FORMA ALGEBRICA => FORMA ESPONENZIALE

\(\rho =\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

\(\left\{ \begin{align} & \alpha =\arctan \frac{b}{a}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{se  a}>0 \\ & \alpha =\arctan \frac{b}{a}+\pi \text{   se   a  }<0 \\ \end{align} \right.\)

\(\left\{ \begin{align} & \cos \alpha =\frac{a}{\rho } \\ & \sin \alpha =\frac{b}{\rho }\\ \end{align} \right.\)

FORMA ESPONENZIALE => FORMA ALGEBRICA

\(\rho \cdot {{e}^{i\alpha }}=\rho \cos \alpha +i\,\rho \sin \alpha \)

CONIUGATO DI UN NUMERO COMPLESSO

Sia \({{z}_{0}}=a+ib=\rho \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)\)
Il coniugato è dato da \({{\bar{z}}_{0}}=a-ib=\rho \left( \cos \left( -\theta \right)+i\sin \left( -\theta \right) \right)\)

MODULO DI UN NUMERO COMPLESSO

Sia \({{z}_{0}}=a+ib=\rho \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)\)
Il modulo è dato da \(\left| {{z}_{0}} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\rho \)

PARTE REALE E PARTE IMMAGINARIA DI UN NUMERO COMPLESSO

Sia \({{z}_{0}}=a+ib=\rho \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)\)
La parte reale e immaginaria sono date rispettivamente da \(\operatorname{Re}\left\{ {{z}_{0}} \right\}=a=\rho \cos \theta \,\,,\,\,\,\,\,\operatorname{Im}\left\{ {{z}_{0}} \right\}=b=\rho \sin \theta \,\,\)

“RAZIONALIZZARE” UN NUMERO COMPLESSO

\(\frac{1-i}{3+2i}=\frac{1-i}{3+2i}\frac{3-2i}{3-2i}=\frac{\left( 1-i \right)\left( 3-2i \right)}{9+4}\)

PRODOTTO TRA DUE NUMERI COMPLESSI

\({{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}}={{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}\left( \cos \left( {{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}} \right)+i\sin \left( {{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}} \right) \right)\)

FORMULE DI DE MOIVRE

Sia \({{z}_{0}}=a+ib=\rho \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)\)

ELEVARE A POTENZA UN NUMERO COMPLESSO

\({{z}_{0}}^{n}={{\rho }^{n}}\left( \cos n\theta +i\sin n\theta \right)\)

RADICI DI UN NUMERO COMPLESSO

\(\sqrt[n]{{{z}_{0}}}=\,\sqrt[n]{\rho }\,\,\left( \cos \left( \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n} \right)+i\sin \left( \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n} \right) \right)\,\,k=0,..,n-1\)