Lezioni di analisi Matematica 2

Continuità, derivabilità e differenziabilità

Derivate direzionali e derivate parziali, piano tangente a una funzione, topologia, domini.

Esercizi

Massimi e minimi di funzioni in più variabili

  • Studio di massimi, minimi e punti di Sella su tutto il dominio naturale attraverso lo studio della matrice Hessiana
  • Studio di punti stazionari, quando la matrice Hessiana risulta degenere
  • Ricerca di massimi e minimi assoluti su insiemi chiusi e limitati.
  • Massimi e minimi vincolati mediante moltiplicatori di Lagrange

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Esercizi  su massimi e minimi

Integrali doppi e tripli, come decidere il cambio di variabile?

  • Domini Normali (Semplici).
  • Impariamo a disegnare gli insiemi in due e tre variabili, per individuare il cambio di variabili più conveniente e per capire come impostare gli estremi di integrazione.
  • Integrali doppi
  • Integrali tripli
  • Teoremi di Tonelli e Fubini
  • Cambio di variabili in integrali doppi e tripli , ovvero passaggio in coordinate polari, cilindriche, sferiche, ellittiche.
  • Altri cambi di variabili e matrice Jacobiana.
  • Coordinate sferiche, polari, ellittiche
  • Calcolo di volumi e superfici in \(\mathbb{R}^3\)
  • Calcolo di volumi mediante il metodo dell’integrazione per strati (stratificazione).
  • Integrazione per fili.
  • Teoremi di Guldino.
  • Calcolo del baricentro di solidi e superfici.
  • Integrali curvilinei di prima specie.
  • Integrali superficie di prima specie.
  • Integrali di volume: massa e momento di inerzia di un solido.

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Esercizi sugli integrali tripli per il calcolo di volumi

Esericizi sugli integrali tripli

Esericizi sul calcolo di baricentri

Esercizi sul teorema di Guldino

Parametrizzazione di curve e superfici

  • Parametrizzazione di curve e superfici.
  • Semplicità, regolarità, chiusura di curve e superfici.
  • Vettori tangenti e normali a superfici e curve

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Esercizi sulle curve

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Campi vettoriali

  • Integrali di linea di seconda specie, meglio noti come lavoro di un campo vettoriale attravero un percorso definito da una curva.
  • Integrali di superficie di seconda specie, meglio noti come flusso di un campo vettoriale attraverso un superficie.
  • Campi conservativi e potenziale di un campo vettoriale.
  • Calcolo di integrali di linea di seconda specie attraverso il potenziale.
  • Circuitazione di un campo vettoriale (integrale di linea di seconda specie su una curva chiusa)
  • Teorema di Stokes
  • Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa (integrali di superficie di seconda specie su un superficie chiusa)
  • Teorema della divergenza.
  • Formule di Gauss Green

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Esercizi

Equazioni differenziali

  • Definizioni di ordine di un equazione differenziale, problema di Cauchy, equazioni lineari a coefficienti costanti o variabili, equazioni omogenee e non omogenee e poi basta così
  • Equazioni differnziali del primo ordine a variabili separabili.
  • Studio di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti variabili.
  • Equazioni differnziali lineari a coefficienti costanti di ordine qualunque: metodo della verosimiglianza e metodo delle variazione delle costanti di Lagrange.
  • Sistemi di equazioni differenziali, e studio inoltre di stabità delle soluzioni.
  • Teoremi di esistenza locale e globale delle soluzioni.

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Serie di potenze, in particolare: serie di Laurin, serie di Fourier

  • Successioni di funzioni: Convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale.
  • Successioni di funzioni.
  • Serie di funzioni.
  • Serie di potenze.
  • La serie di Fourier, come si calcola, quali sono le varie definizioni, come si studia la convergenza.
  • La serie di McLaurin

funzioni olomorfe