Teorema di esistenza dell’estremo superiore (dimostrazione)

TEOREMA DI ESISTENZA DELL’ESTREMO SUPERIORE

dimostrazione del teorema dI esistenza dell'estremo superiore (Analisi 1)
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Il teorema di esistenza dell’lezione completa su estremi e estremanti di insiemi reali afferma che:

Se un insieme reale è superiormente limitato allora l’estremo superiore esiste ed è finito.

Ovviamente il teorema vale anche per l’estremo inferiore. Guarda il video per vedere come si dimostra. Ti consiglio di munirti prima di carta e penna, così sarai più concentrato e non perderai nemmeno un passaggio!

Dimostrazione.

Se un insieme \(A\subseteq \mathbb{R}\) è superiormente limitato allora ammette almeno un maggiorante cioè \(\exists x\in \mathbb{R}\,\,\,|\,\,\,x\ge a\,\forall a\in A\) .
A questo punto costruiamo l’insieme dei maggioranti di \(A\) che sarebbe \(B=\left\{ x\in \mathbb{R}|\,x\ge a\,\forall a\in A \right\}\).
Per come è stato costruito l’insieme \(B\) vale la proprietà che \(x\ge a\,\,\forall x\in B\,\,\forall a\in A\).
Per l’assioma di completezza esiste un elemento separatore \(c\in \mathbb{R}\) | \(a\le c\le x\) \(\forall x\in B\,\,\forall a\in A\)
Poiché \(c\ge a\,\,\forall a\in A\) allora possiamo dire che si tratta di un maggiorante e quindi\(c\in B\). Allo stesso tempo, siccome \(c\le x\,\,\forall x\in B\)allora è il valore minimo dell’insieme \(B\). In altre parole \(c\) è un maggiorante ed il più piccolo tra i maggioranti, quindi è proprio l’estremo superiore dell’insieme \(A\) ovvero \(c=\sup A\) . L’elemento separatore tra un insieme limitato e l’insieme dei suoi maggioranti coincide proprio con l’estremo superiore.

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