Insieme dei numeri reali

Nell’insieme dei numeri reali sono definite le operazioni di somma e prodotto. All’interno dell’insieme e a proposito di tali operazioni valgono degli assiomi, ovvero delle proprietà che si prendono per buone e attraverso le quali si costruisce poi tutto il resto.


Videolezione – Insiemi Reali

Guarda la videolezione sull’insieme dei numeri reali


Assiomi relativi alle operazioni:

Proprietà associativa: Per la somma \(\left( a+b \right)+c=a+\left( b+c \right)\). Per il prodotto \(\left( a\cdot b \right)\cdot c=a\cdot \left( b\cdot c \right)\)
Proprietà distributiva: \(a\cdot \left( b+c \right)=a\cdot b+a\cdot c\)
Proprietà commutativa: Per la somma \(a+b=b+a\). Per il prodotto \(a\cdot b=b\cdot a\)
Esistenza degli elementi neutri: L’elemento neutro della somma è lo zero \(a+0=a\) . L’elemento neutro del prodotto è l’uno \(a\cdot 1=a\)
Esistenza degli elementi opposti: Per ogni numero reale \(a\in \mathbb{R}\)  esiste l’elemento opposto \(-a\).
Esistenza degli elementi inversi: Per ogni numero reale non nullo \(a\ne 0\), esiste un numero \({{a}^{-1}}\) tale che \(a\cdot {{a}^{-1}}=1\) .


Assiomi relativi all’ordinamento:

– Se valgono contemporaneamente \(a\le b\) e \(b\le a\), allora \(a=b\).
– Se\(a\le b\) allora \(a+c\le b+c\)
– Se \(0\le a\) e \(0\le b\) allora \(0\le a+b\) e \(0\le a\cdot b\)


Assioma di completezza

Siano \(A\) e \(B\) due insiemi reali non vuoti, se vale la proprietà \(x\le y\,\,\forall x\in A,\,\forall y\in B\) allora esiste sicuramente un numero reale \(c\in \mathbb{R}\) tale che \(a\le c\le b\) comunque presi a in \(A\) e \(b\) in \(B\) . Tale elemento prende il nome di elemento separatore.


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